Первый регулятор скорости

P- и PI-управление, ограничение напряжения и защита интегратора от накопления.

Зачем нужна внешняя обратная связь

Естественная связь через противо-ЭДС уменьшает влияние нагрузки, но не возвращает скорость к заданию. Регулятор сравнивает желаемую скорость r с измеренной ω и меняет напряжение. В этом уроке зададим r = 60 рад/с, ограничим напряжение диапазоном ±12 В и приложим нагрузку 0,1 Н·м в момент 1 с.

Пока датчик и преобразователь считаются идеальными, задержки и шум отсутствуют. Это модель для знакомства с принципом управления. Для реального привода нужны дополнительные ограничения, прежде всего по току, а также учёт дискретности измерения и исполнительного устройства.

Пропорциональный регулятор

Чем больше ошибка, тем больше команда напряжения. Но для поддержания ненулевой скорости двигателю нужно ненулевое напряжение, значит, у чистого P-регулятора обычно остаётся статическая ошибка. Увеличение Kp уменьшает её, однако усиливает резкость перехода и не отменяет ограничения исполнительного устройства.

При Kp = 0,3 В·с/рад, r = 60 и отсутствии нагрузки установившаяся скорость без насыщения равна kt Kp r/(Rb + ktke + kt Kp), то есть около 40,91 рад/с. После приложения нагрузки она снижается ещё сильнее.

Интегральное действие

Добавим состояние z, которое накапливает ошибку. Пока ошибка сохраняется, интегральная часть продолжает изменять команду. В устойчивом ненасыщенном равновесии z′ = ε = 0, поэтому скорость совпадает с постоянным заданием.

В примере Kp = 0,3, Ki = 1,0. Единица Kp — В/(рад/с), а Ki — В/рад. Эти значения выбраны для данной учебной модели и не являются универсальной настройкой. После увеличения нагрузки интегратор повышает напряжение до нового значения, необходимого для сохранения скорости.

Проверка достижимости задания

Для ω = 60 рад/с и ML = 0,1 Н·м требуемый ток равен (bω + ML)/kt = 2,2 А. Требуемое напряжение R i + keω равно 10,4 В и укладывается в ограничение 12 В. Поэтому устранение статической ошибки возможно.

Для задания 100 рад/с при той же нагрузке нужно 16 В. Регулятор с пределом 12 В не сможет обеспечить такую скорость ни при каких коэффициентах. Прежде чем настраивать регулятор, проверяйте физическую достижимость режима.

Насыщение и накопление интегратора

Если выход уже достиг предела, интегратор может продолжать накапливать ошибку. После изменения ситуации накопленное значение долго удерживает команду у ограничения и ухудшает переход. Это называют integral windup.

В примере используется условное интегрирование: z перестаёт расти, если выход находится на верхнем пределе и ошибка толкает его ещё выше; аналогично для нижнего предела. Когда ошибка помогает выйти из насыщения, интегрирование продолжается.

error = target - speed
raw = kp*error + ki*z
voltage = np.clip(raw, -12, 12)
outward = ((raw >= 12 and error > 0)
           or (raw <= -12 and error < 0))
dz = 0.0 if outward else error

Такой алгоритм не ограничивает ток непосредственно. Даже при напряжении в допустимом диапазоне ток может быть слишком большим для конкретного двигателя. В промышленных приводах часто используют внутренний контур тока и внешний контур скорости; это естественная тема для продолжения курса.

Как оценить качество

Проверьте время выхода на задание, максимум скорости, провал после приложения нагрузки и время восстановления. Отдельно посмотрите ток и длительность насыщения. Регулятор с красивым графиком скорости может требовать неприемлемого тока. Сравнивать настройки следует на одинаковых заданиях, возмущениях и ограничениях.

Итоговая работа

Сравните Kp = 0,15; 0,3; 0,6 при неизменном Ki = 1. Затем для Kp = 0,3 исследуйте Ki = 0,5; 1; 2. Составьте таблицу показателей, проверьте достижимость задания и объясните различия. После этого задайте недостижимые 100 рад/с и сравните интегратор с защитой и без неё при последующем снижении задания до 40 рад/с.

Замкнутый контур и два канала воздействия

В линейном режиме без насыщения регулятор C(s) = K_p + K_i/s, объект G(s) = k_t/D(s). При единичной отрицательной обратной связи передаточные функции по заданию r и возмущению M_L различаются:

Здесь R_зад(s) обозначает образ задания скорости, а R без индекса остаётся сопротивлением якоря. Интегратор повышает усиление на низких частотах и устраняет ошибку от постоянных воздействий только в устойчивом ненасыщенном режиме. Во время насыщения линейные передаточные функции уже не описывают весь процесс.

Устойчивость PI-регулятора: критерий для кубического полинома

Характеристическое уравнение 1 + C(s)G(s) = 0 после умножения на sD(s) принимает вид:

При a₃ > 0 кубический полином гурвицев тогда и только тогда, когда все коэффициенты положительны и a₂a₁ > a₃a₀. Это позволяет проверить настройку до моделирования. Для положительных K_p, K_i остаётся ограничение:

Для базовых параметров и K_p = 0,3 получаем K_i < 44,44 В/рад. Выбранное K_i = 1 удовлетворяет условию, но это не гарантирует желаемого перерегулирования или допустимого тока. Граница устойчивости — не рекомендуемая настройка; у самой границы затухание мало.

Начальная настройка по упрощённой модели

Пусть электрическая динамика достаточно быстра, а объект приближён звеном G_r(s) = K/(τs + 1). Для базового двигателя K = k_t/(Rb + k_tk_e) = 7,143 (рад/с)/В и τ = 0,2857 с. Замкнутый характеристический полином равен τs² + (1 + KK_p)s + KK_i.

Выбрав ζ = 0,8 и ω_n = 5 рад/с, получаем K_p = 0,18 В·с/рад и K_i = 1 В/рад. Это стартовая настройка для дальнейшей проверки полной модели. Числитель замкнутой передаточной функции содержит нуль PI-регулятора, поэтому стандартная формула перерегулирования звена без нулей здесь не является точным прогнозом.

Насыщение, защита интегратора и протокол проверки

В дополнение к условному интегрированию можно использовать обратный расчёт. Пусть v — интегральная составляющая напряжения. Тогда:

Разность между ограниченной и желаемой командами возвращает интегратор к реализуемому уровню. T_t имеет размерность времени. Слишком малая T_t добавляет быстрый масштаб и повышает требования к шагу интегрирования. Сравнивайте этот вариант с уже приведённым условным интегрированием при одинаковых ограничениях.

Протокол проверки: малый скачок задания без насыщения; большой скачок; приложение и снятие нагрузки; недостижимое задание с последующим снижением; изменение R и J на ±20%. В каждом опыте фиксируйте ошибку, время установления в явно заданной полосе, экстремум тока и длительность насыщения. Ограничение напряжения не заменяет внутренний контур ограничения тока.

Задачи для самостоятельного решения

1. Для K_p = 0,18 найдите верхнюю границу K_i по полной модели. Устойчива ли линейная система при K_i = 40?

2. При задании 60 рад/с, нагрузке 0,1 Н·м и K_i = 1 найдите установившееся состояние z для исходной формы u = K_pε + K_iz.

Итоговая защита: представьте уравнения, проверку устойчивости, таблицу показателей и объяснение выбранных коэффициентов. Покажите один режим, в котором упрощённая модель или линейный анализ недостаточны.

Куда двигаться дальше

Теперь вы умеете формулировать уравнения, выбирать начальные условия, проверять расчёт и объяснять переход по физическим причинам. Уроки 11–15 посвящены идентификации параметров, ШИМ-преобразователю, каскадному управлению, двухмассовой механике и дискретному регулятору. Основа остаётся прежней: законы сохранения, переменные состояния и проверяемый численный эксперимент.