Двухмассовый привод и упругие колебания

Упругий вал, собственная частота, демпфирование, резонанс и антирезонанс электропривода.

1. От жёсткого вала к упругой связи

В одномассовой модели части механизма имеют одну приведённую скорость. Если вал или муфта заметно деформируются, энергия запасается и в упругом элементе. Рассмотрим две инерции J₁ и J₂, приведённые к одной стороне идеальной передачи. Между ними — крутильная жёсткость k_s и вязкий демпфер c_s.

Пусть θ = φ₁ − φ₂, M_s = k_sθ + c_s(ω₁ − ω₂). Положительный M_s тормозит первую массу и ускоряет вторую. Демпфер в связи реагирует на разность скоростей, а не на скорость относительно неподвижной опоры.

Полная модель добавляет i′ = (u − Ri − k_eω₁)/L и M_e = k_ti. Противо-ЭДС зависит именно от скорости двигателя. Состояний четыре: ток, две скорости и угол закручивания.

2. Общее движение и относительное колебание

Для анализа положим b₁ = b₂ = 0. Введём среднюю скорость по угловому моменту Ω = (J₁ω₁ + J₂ω₂)/(J₁ + J₂) и инерцию относительного движения J_r = J₁J₂/(J₁ + J₂). Сложение уравнений исключает внутренний момент:

Знак нагрузки во втором уравнении положительный: торможение второй массы увеличивает отставание нагрузки и закручивание. При нулевых внешних моментах общее вращение сохраняется, а относительное движение затухает при c_s > 0. Затухание относительных колебаний не означает остановку всего механизма.

3. Частота и демпфирование: расчётный пример

Возьмём J₁ = 0,002 кг·м², J₂ = 0,008 кг·м², k_s = 2 Н·м/рад и c_s = 0,008 Н·м·с/рад. Получим J_r = 0,0016 кг·м², ω_r = 35,355 рад/с, f_r = 5,627 Гц, ζ_r = 0,07071: слабое демпфирование.

Полюса относительного движения −2,5 ± j35,267 с⁻¹. Огибающая убывает как e^−2,5t; уменьшение в 50 раз требует около 1,565 с. Это оценка затухания огибающей, а не универсальное время установления любой скорости.

Критический c_кр = 0,11314 Н·м·с/рад больше исходного. Увеличение демпфирования уменьшает колебательность, но при очень большом демпфировании возникает медленный апериодический режим. Все параметры в этих формулах должны относиться к одной стороне передачи.

4. Резонанс, антирезонанс и место датчика

Без демпфирования, внешнего трения и нагрузки передаточные функции от момента двигателя к скоростям равны:

В канале скорости двигателя есть нуль при ω_a = √(k_s/J₂), а общий колебательный полюс расположен при ω_r. В примере ω_a = 15,811 рад/с, или 2,516 Гц. Провал амплитуды у датчика двигателя не означает неподвижности нагрузки. При демпфировании идеальный нуль и бесконечный резонанс сглаживаются.

Интегратор отражает свободное общее вращение: при постоянном ненулевом результирующем моменте скорость не устанавливается. Искать конечную скорость модели без сопротивления при M_e ≠ M_L неверно. При настройке регулятора учитывают и резонанс, и место измерения.

5. Энергия и проверка численного расчёта

Упругость не создаёт энергию, демпфер только рассеивает её. Без внешних воздействий запас не возрастает. Рост амплитуды требует проверки знаков момента связи и устойчивости численного метода. При c_s = 0 и отсутствии внешнего трения точная энергия сохраняется; её убывание может быть численным, а не физическим.

Скачиваемый расчёт интегрирует свободное движение из ω₁ = ω₂ = 0, θ₀ = 0,05 рад в течение 2 с. Начальная энергия 0,0025 Дж. Контролируются убывание энергии и сохранение суммарного углового момента J₁ω₁ + J₂ω₂. Поскольку внешних моментов нет, он должен оставаться нулевым даже при внутреннем демпфировании.

Скачать расчёты к урокам 11–15 на Python. Запуск: python advanced-experiments.py. Нужны NumPy и SciPy; результаты выводятся в консоль.

Задачи для самостоятельного решения

1. Как изменятся ω_r и ζ_r при увеличении k_s в четыре раза и прежних инерциях и c_s?

2. При постоянной общей скорости, b₁ = b₂ = 0 и M_L = M_e = 0,1 Н·м найдите закручивание и упругую энергию.

Лабораторная работа и защита

Исследуйте свободное движение с θ₀ = 0,05 рад, нулевыми скоростями и без внешних моментов. Сравните c_s = 0; 0,008; 0,11314. Покажите обе скорости, θ и энергию. Затем добавьте электрическую часть и сравните пуск с одномассовой моделью J = J₁ + J₂.

Объясните, какое движение теряется при объединении масс, почему увеличение жёсткости повышает требования к частоте дискретизации и почему настройка по одной скорости может скрыть колебания нагрузки. Отдельно продемонстрируйте, что ошибка баланса энергии уменьшается при уточнении расчёта.

Что запомнить

Упругость добавляет состояние и колебательный режим. Скорости двигателя и нагрузки различаются на быстрых переходах. Положение датчика влияет на наблюдаемый отклик, а физическое демпфирование отличается от численного.