Каскадное управление: контуры тока и скорости

Настройка внутреннего PI-контура тока, внешний контур скорости, разделение быстродействия и ограничения.

1. Зачем нужен внутренний контур

Регулятор урока 10 задавал напряжение непосредственно. Даже при |u| ≤ U_max пусковой ток мог быть большим. В каскадной структуре внешний контур скорости формирует требуемый ток i*, а внутренний выбирает напряжение, чтобы этот ток получить. Ограничение задания тока становится частью управления моментом.

Положительный ток соответствует положительному моменту k_ti*. Коэффициенты внешнего регулятора теперь измеряются в А/(рад/с) и А/рад, а не в вольтах. Переносить настройки урока 10 без пересчёта нельзя. Измерения тока и скорости также имеют разные масштабы и требования к быстродействию.

2. Вывод настройки PI тока

На быстром электрическом интервале скорость приближённо постоянна, а противо-ЭДС является возмущением. Объект G_i(s) = 1/(Ls + R), регулятор C_i(s) = K_pi + K_ii/s. Выбирая нуль регулятора равным электрическому полюсу:

Здесь τ_i — желаемая постоянная времени замкнутого контура. При L = 0,02 Гн, R = 2 Ом, τ_i = 0,005 с получаем K_pi = 4 В/А и K_ii = 400 В/(А·с). Идеальное время установления 2% — 0,01956 с.

Сокращение полюса и нуля точно только при точных параметрах, отсутствии задержки и насыщения. Оно не означает исчезновения энергии индуктивности. При изменении R из-за нагрева проверьте переход и устойчивость заново. Быстрая настройка не должна выходить за возможности датчика и преобразователя.

3. Компенсация ЭДС и запас напряжения

Команда u_raw = K_pi(i* − i) + v_i + k̂_eω включает предварительную компенсацию ЭДС. При точных k̂_e и измерении скорости основная часть возмущения устраняется до реакции интегратора. Ошибка оценки остаётся возмущением.

При ω = 60 рад/с и i = 3 А статическое напряжение равно 12 В. Если предел шины также 12 В, запаса для положительного di/dt нет. Увеличение коэффициентов не поможет. При шине 24 В запас в этой точке составляет 12 В: предельный положительный наклон равен 600 А/с.

4. Настройка внешнего контура

Если внутренний контур существенно быстрее, для первой настройки примем i ≈ i*. Объект G_ω(s) = k_t/(Js + b). С PI-регулятором характеристический полином равен Js² + (b + k_tK_pω)s + k_tK_iω. Сопоставим желаемому второму порядку:

При ζ = 0,8, ω_n = 10 рад/с и базовых параметрах K_pω = 0,3 А·с/рад, K_iω = 2 А/рад. Внутренняя частота 1/τ_i = 200 рад/с существенно выше внешней. Это обоснование начального приближения, а не универсальная гарантия для любых задержек.

С конечной τ_i характеристический полином становится кубическим:

Кроме положительности коэффициентов требуется (J + bτ_i)(b + k_tK_pω) > Jτ_ik_tK_iω. Внешний контур нельзя бесконечно ускорять при неизменном внутреннем. В скачиваемом расчёте коэффициенты вычисляются непосредственно, полюса находятся через numpy.roots.

Скачать расчёты к урокам 11–15 на Python. Запуск: python advanced-experiments.py. Нужны NumPy и SciPy; результаты выводятся в консоль.

5. Два ограничения и два интегратора

Внешняя команда ограничивается: i* = clip(i_raw, −I_max, I_max). Внутренняя ограничивается напряжением. Каждый интегратор получает защиту от накопления при собственном насыщении:

Если внутренний контур длительно не реализует i* из-за недостатка напряжения, одной защиты внешнего по его собственному ограничителю может быть мало. Применяют дополнительное отслеживание реализуемого задания или замораживание интегрирования по состоянию внутреннего контура. Сначала исследуйте этот эффект в модели.

Ограничение i* не гарантирует |i| ≤ I_max в каждое мгновение: возможны перерегулирование, задержки и начальный ток вне диапазона. Проверяют фактический пик. Для интеграторов v_ω и v_i единицы — соответственно амперы и вольты.

Дополнительное чтение: Imperix: реализации PI-регулятора, задержки и защита интегратора.

Задачи для самостоятельного решения

1. При τ_i = 0,01 с найдите настройки PI тока и идеальное время установления 2%.

2. Достижимы ли 80 рад/с при M_L = 0,2 Н·м, I_max = 3 А и U_max = 24 В?

Лабораторная работа и защита

Составьте полную модель [i, ω, v_i, v_ω]. Задайте шину ±24 В, предел задания тока ±3 А, настройки выше, T_ti = 0,005 с, T_tω = 0,05 с. Из нулевого состояния подайте задание 60 рад/с и нагрузку 0,1 Н·м в момент 1 с. Покажите i*, i, u, ω и оба интегратора.

Сравните с τ_i = 0,05 с, перенастроив внутренний PI. Затем увеличьте R на 20%, сохранив настройки. Разделите влияние медленного внутреннего контура, ошибки параметров и насыщения. Объясните, почему внешнему PI недостаточно знать только предел тока.

Что запомнить

Внешний регулятор задаёт ток, внутренний — напряжение. Настройку начинают с внутреннего контура. Разделение быстродействия и ограничения проверяют на полной модели с насыщением обоих регуляторов.